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2-2 APLICACIONES DE ECUACIONES LINEALES.
Los métodos algebraicos a menudo son útiles en la solución de problemas aplicados
en diversos campos. En general, tales problemas se establecen en forma verbal; antes
de que podamos utilizar nuestras herramientas algebraicas, es necesario cambiar
las declaraciones verbales a proposiciones algebraicas correspondientes. El siguiente
procedimiento por etapas con frecuencia es útil en la aplicación de este proceso.
Paso 1 Represente la cantidad desconocida (es decir, la cantidad que debe
determinarse) mediante un símbolo algebraico, tal como x. En algunos problemas,
deben determinarse dos o más cantidades; en tales casos, denotamos sólo
una de ellas con x.
Paso 2 Exprese todas las demás cantidades, si las hay, en términos de x.
Paso 3 Traduzca las expresiones verbales que aparezcan en el problema
en expresiones algebraicas en las cuales intervenga x. En este contexto, palabras
tales como es o era se traducen al símbolo algebraico .
Paso 4 Resuelva la expresión o expresiones algebraicas de acuerdo con
los métodos algebraicos.
Paso 5 Transforme la solución algebraica en forma verbal.
En problemas verbales, aparecen un número de declaraciones que incluyen
frases tales como alguna cantidad mayor que o menor que cierto valor multiplicado,
digamos, dos veces o por la mitad de otra cantidad. Los ejemplos siguientes ilustran
cómo cambiar tales expresiones a términos algebraicos.
EJEMPLO 1
a) Si Juan tiene x pesos y Jaime 5 más que Juan, entonces Jaime tiene (x 5)
pesos. Si Samuel tiene 3 menos que Juan entonces Samuel tiene (x 3) pesos.
b) Si Luis tiene una edad de x años y su padre tiene 4 años más que el doble
de la edad de Luis, entonces su padre tiene (2x 4) años.
2-3 ECUACIONES CUADRÁTICAS
Una ecuación del tipo
ax2 bx c 0 (a 0) (1)
donde a, b y c son constantes, se denomina una ecuación cuadrática en la variable x.
Existen tres métodos para resolver una ecuación de ese tipo: factorizando,
usando la fórmula cuadrática y completando el cuadrado. Cualquiera que sea el método
que se utilice, la primera etapa en la resolución es disponer la ecuación en la
forma estándar de la ecuación (1). En esta forma, el lado derecho de la ecuación es
cero y en el lado izquierdo se encuentran los términos en x2, en x y las constantes.
El procedimiento para llegar a esta forma estándar es, por tanto, en primer término,
eliminar todas las fracciones que aparezcan multiplicando toda la ecuación por su
denominador común; luego eliminamos los paréntesis; enseguida pasamos todos los
términos al lado izquierdo de la ecuación y, por último, simplificamos los términos
semejantes.
Los siguientes ejemplos ilustran este procedimiento, junto con el método de
factorización.
EJEMPLO 1 Resuelva la ecuación 3(x2 1) 5(1 x)
Solución No hay fracciones en esta ecuación. Eliminando los paréntesis, encontramos
que
3x2 3 5 5x
Después de que todos los términos de la derecha se pasan al primer miembro, la
ecuación se transforma en
3x2 3 5 5x 0
o bien,
3x2 5x 2 0
Así, tenemos una ecuación cuadrática con coeficientes a 3, b 5 y c 2. Al
utilizar el método de factorización, factorizamos la expresión de la izquierda. En este
ejemplo,
3x2 5x 2 (3x 1)(x 2)
y así, la última ecuación toma la forma:
(3x 1)(x 2) 0
El producto de los dos factores (3x 1) y (x 2) es cero. Ahora utilizamos la
siguiente propiedad de los números reales:
4-2 LÍNEAS RECTAS Y ECUACIONES LINEALES
En esta sección, examinaremos algunas propiedades de las líneas rectas. Nuestro
primer objetivo será investigar la ecuación algebraica que tiene una línea dada, así
como su gráfica.
Una de las propiedades más importantes de una línea recta es qué tan pronunciadamente
sube o baja, por lo que primero introducimos una cantidad que mida
el grado de inclinación de una línea. Empecemos considerando un ejemplo. La
ecuación y 2x 4 tiene como gráfica la línea recta que aparece en la figura 9.
Elijamos dos puntos sobre esta línea, tales como los puntos (3, 2) y (5, 6), que se
denotan, respectivamente, por P y Q en la figura citada. La diferencia entre las
coordenadas x de estos dos puntos, denotados por PR, se denomina el recorrido o
distancia de P a Q:
Recorrido PR 5 3 2
La diferencia entre las coordenadas y de P y Q, igual a la distancia QR, se denomina
elevación de P a Q:
Elevación QR 6 2 4
Observemos que la elevación es igual a dos veces el recorrido. Éste es el caso,
no importa qué pares de puntos elijamos sobre la gráfica. Por ejemplo, tomemos
los puntos P ( 1, 6) y Q (4, 4). (Véase la figura 9). Entonces
Recorrido P R 4 ( 1) 5 y Elevación Q R 4 ( 6) 10
De nuevo, la razón de la elevación al recorrido es igual a 2.
La misma razón de la elevación al recorrido se obtiene en los dos casos porque
los triángulos PQR y P Q R son semejantes. Por tanto, las razones de los lados
correspondientes son iguales: QR/PR Q R /P R . Esta razón se denomina pendiente
de la línea recta. La línea de la figura 9 tiene una pendiente igual a 2.
La pendiente de una línea recta arbitraria se define de manera similar. Sean P
y Q dos puntos cualesquiera sobre la línea. (Véase la figura 10). Sean sus coordenadas
(x1, y1) y (x2, y2), respectivamente. Sea R la intersección de la línea horizontal
que pasa por P y la línea vertical a través de Q. Entonces, definimos el desplazamiento
(o recorrido) desde P a Q como x2 – x1 y la elevación desde P a Q como
y2 – y1:
Los métodos algebraicos a menudo son útiles en la solución de problemas aplicados
en diversos campos. En general, tales problemas se establecen en forma verbal; antes
de que podamos utilizar nuestras herramientas algebraicas, es necesario cambiar
las declaraciones verbales a proposiciones algebraicas correspondientes. El siguiente
procedimiento por etapas con frecuencia es útil en la aplicación de este proceso.
Paso 1 Represente la cantidad desconocida (es decir, la cantidad que debe
determinarse) mediante un símbolo algebraico, tal como x. En algunos problemas,
deben determinarse dos o más cantidades; en tales casos, denotamos sólo
una de ellas con x.
Paso 2 Exprese todas las demás cantidades, si las hay, en términos de x.
Paso 3 Traduzca las expresiones verbales que aparezcan en el problema
en expresiones algebraicas en las cuales intervenga x. En este contexto, palabras
tales como es o era se traducen al símbolo algebraico .
Paso 4 Resuelva la expresión o expresiones algebraicas de acuerdo con
los métodos algebraicos.
Paso 5 Transforme la solución algebraica en forma verbal.
En problemas verbales, aparecen un número de declaraciones que incluyen
frases tales como alguna cantidad mayor que o menor que cierto valor multiplicado,
digamos, dos veces o por la mitad de otra cantidad. Los ejemplos siguientes ilustran
cómo cambiar tales expresiones a términos algebraicos.
EJEMPLO 1
a) Si Juan tiene x pesos y Jaime 5 más que Juan, entonces Jaime tiene (x 5)
pesos. Si Samuel tiene 3 menos que Juan entonces Samuel tiene (x 3) pesos.
b) Si Luis tiene una edad de x años y su padre tiene 4 años más que el doble
de la edad de Luis, entonces su padre tiene (2x 4) años.
2-3 ECUACIONES CUADRÁTICAS
Una ecuación del tipo
ax2 bx c 0 (a 0) (1)
donde a, b y c son constantes, se denomina una ecuación cuadrática en la variable x.
Existen tres métodos para resolver una ecuación de ese tipo: factorizando,
usando la fórmula cuadrática y completando el cuadrado. Cualquiera que sea el método
que se utilice, la primera etapa en la resolución es disponer la ecuación en la
forma estándar de la ecuación (1). En esta forma, el lado derecho de la ecuación es
cero y en el lado izquierdo se encuentran los términos en x2, en x y las constantes.
El procedimiento para llegar a esta forma estándar es, por tanto, en primer término,
eliminar todas las fracciones que aparezcan multiplicando toda la ecuación por su
denominador común; luego eliminamos los paréntesis; enseguida pasamos todos los
términos al lado izquierdo de la ecuación y, por último, simplificamos los términos
semejantes.
Los siguientes ejemplos ilustran este procedimiento, junto con el método de
factorización.
EJEMPLO 1 Resuelva la ecuación 3(x2 1) 5(1 x)
Solución No hay fracciones en esta ecuación. Eliminando los paréntesis, encontramos
que
3x2 3 5 5x
Después de que todos los términos de la derecha se pasan al primer miembro, la
ecuación se transforma en
3x2 3 5 5x 0
o bien,
3x2 5x 2 0
Así, tenemos una ecuación cuadrática con coeficientes a 3, b 5 y c 2. Al
utilizar el método de factorización, factorizamos la expresión de la izquierda. En este
ejemplo,
3x2 5x 2 (3x 1)(x 2)
y así, la última ecuación toma la forma:
(3x 1)(x 2) 0
El producto de los dos factores (3x 1) y (x 2) es cero. Ahora utilizamos la
siguiente propiedad de los números reales:
4-2 LÍNEAS RECTAS Y ECUACIONES LINEALES
En esta sección, examinaremos algunas propiedades de las líneas rectas. Nuestro
primer objetivo será investigar la ecuación algebraica que tiene una línea dada, así
como su gráfica.
Una de las propiedades más importantes de una línea recta es qué tan pronunciadamente
sube o baja, por lo que primero introducimos una cantidad que mida
el grado de inclinación de una línea. Empecemos considerando un ejemplo. La
ecuación y 2x 4 tiene como gráfica la línea recta que aparece en la figura 9.
Elijamos dos puntos sobre esta línea, tales como los puntos (3, 2) y (5, 6), que se
denotan, respectivamente, por P y Q en la figura citada. La diferencia entre las
coordenadas x de estos dos puntos, denotados por PR, se denomina el recorrido o
distancia de P a Q:
Recorrido PR 5 3 2
La diferencia entre las coordenadas y de P y Q, igual a la distancia QR, se denomina
elevación de P a Q:
Elevación QR 6 2 4
no importa qué pares de puntos elijamos sobre la gráfica. Por ejemplo, tomemos
los puntos P ( 1, 6) y Q (4, 4). (Véase la figura 9). Entonces
Recorrido P R 4 ( 1) 5 y Elevación Q R 4 ( 6) 10
De nuevo, la razón de la elevación al recorrido es igual a 2.
La misma razón de la elevación al recorrido se obtiene en los dos casos porque
los triángulos PQR y P Q R son semejantes. Por tanto, las razones de los lados
correspondientes son iguales: QR/PR Q R /P R . Esta razón se denomina pendiente
de la línea recta. La línea de la figura 9 tiene una pendiente igual a 2.
La pendiente de una línea recta arbitraria se define de manera similar. Sean P
y Q dos puntos cualesquiera sobre la línea. (Véase la figura 10). Sean sus coordenadas
(x1, y1) y (x2, y2), respectivamente. Sea R la intersección de la línea horizontal
que pasa por P y la línea vertical a través de Q. Entonces, definimos el desplazamiento
(o recorrido) desde P a Q como x2 – x1 y la elevación desde P a Q como
y2 – y1:
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